Funkcja liniowa – przypadek ogólny

W poprzedniej części zajmowaliśmy się własnościami funkcji liniowej danej wzorem f ( x ) = a x + b , gdy jeden ze współczynników a lub b był równy zeru. Teraz zajmiemy się przypadkiem ogólnym.

Wartości funkcji liniowej

Zgodnie ze wzorem, aby znaleźć wartość funkcji liniowej dla danej wartości jej argumentu x , musimy pomnożyć x przez współczynnik kierunkowy a , a następnie dodać b . Ponieważ suma liczb wymiernych jest liczbą wymierną oraz iloczyn liczb wymiernych jest liczbą wymierna, możemy sformułować następujące spostrzeżenie:

Jeżeli współczynniki liczbowe a i b są liczbami całkowitymi, to dla całkowitych wartości argumentu x funkcja f ( x ) = a x + b przyjmuje wartości całkowite.

Jeżeli współczynniki liczbowe a i b są liczbami wymiernymi, to dla wymiernych wartości argumentu x funkcja f ( x ) = a x + b przyjmuje wartości wymierne.

Przykład. Rozważmy funkcję: f ( x ) = 3 x + 4

Ponieważ współczynniki we wzorze funkcji są liczbami całkowitymi, więc f ( x ) jest liczbą całkowitą dla każdego x całkowitego, np. f ( 4 ) = 8 . Zauważmy również, że na przykład dla x = 1 2 mamy f ( x ) = f ( 1 2 ) = 3 1 2 + 4 = 11 2 . Otrzymana wartość jest liczbą wymierną (lecz nie liczbą całkowitą).

Może oczywiście zdarzyć się, że wartość funkcji liniowej jest liczbą całkowitą, chociaż jej współczynniki są liczbami wymiernymi, lecz nie są liczbami całkowitymi.

Przykład. Współczynniki a , b we wzorze funkcji liniowej: f ( x ) = 3 4 x 1 2

są liczbami wymiernymi, lecz nie są liczbami całkowitymi. Dla dowolnego x wymiernego wartość f ( x ) jest liczbą wymierną (niekoniecznie całkowitą), na przykład f ( 1 ) = 3 4 1 2 = 1 4 . Zauważmy też, że na przykład f ( 2 ) = 3 4 2 1 2 = 3 2 1 2 = 1 (otrzymaliśmy wartość całkowitą). Podobnie, f ( 2 3 ) = 3 4 2 3 1 2 = 0 .

Pamiętamy, że wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby ją narysować, wystarczy znaleźć współrzędne dwóch leżących na niej punktów lub, równoważnie, dwie pary liczb ( x ; y ) , takie że y = f ( x ) . Jeżeli chcemy, aby wykres był dokładny, dobrze jest tak dobrać współrzędne, aby były liczbami całkowitymi. Powyższe uwagi i przykłady przydadzą się więc przy rysowaniu wykresu funkcji liniowej, której współczynniki a i b nie są liczbami całkowitymi.

Przyciski niżej uruchamiają zestawy ćwiczeń pozwalających wypraktykować obliczanie wartości funkcji liniowej.

a , b     całkowite, x całkowite a , b     całkowite, x niecałkowite a , b     niecałkowite, x całkowite a , b     niecałkowite, x niecałkowite
Uruchom zadanie Uruchom zadanie Uruchom zadanie Uruchom zadanie

Znajdowanie wartości argumentu, dla której funkcja liniowa przyjmuje daną wartość

Aby znaleźć wartość x , dla której funkcja f ( x ) = a x + b przyjmuje daną wartość y , musimy rozwiązać równanie: a x + b = y

w którym x jest niewiadomą.

Zagadnienie znalezienia wartości argumentu, dla której funkcja przyjmuje zadaną wartość, pojawia się w konkretnych zastosowaniach.

Ćwiczenie. Statek stojący na kotwicy w odległości 2 km od brzegu morza zaczyna płynąć w kierunku prostopadłym od brzegu oddalając się od brzegu z prędkością 15 km/h. Po jakim czasie statek znajdzie się w odległości 100 km od brzegu?

Oznaczymy przez x czas, który upłynął od momentu, gdy statek zaczął się oddalać od brzegu. Ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnym wynika, że odległość statku od brzegu jest funkcją liniową czasu x daną wzorem: f ( x ) = 15 x + 2

gdzie x jest w godzinach, a otrzymany wynik f ( x ) – w kilometrach. W naszym przypadku szukamy wartości x , dla której f ( x ) = 100 . W tym celu musimy rozwiązać równanie 15 x + 2 = 100 .

Rozwiązaniem tego równania jest x = 100 2 15 = 98 15 = 6 8 15 Ponieważ 1 15 godziny to 4 minuty, więc statek znajdzie się w odległości 100 km od brzegu po 6 godzinach i 32 minutach.

Przyciski niżej uruchamiają ćwiczenia związane ze znajdowaniem wartości x , gdy dana jest wartość funkcji f ( x ) = a x + b

a , b     całkowite, x całkowite a , b     całkowite, x niecałkowite a , b     niecałkowite, x całkowite a , b     niecałkowite, x niecałkowite
Uruchom zadanie Uruchom zadanie Uruchom zadanie Uruchom zadanie

Wykres funkcji liniowej

Aby sporządzić wykres funkcji liniowej, wystarczy obliczyć wartość f ( x ) dla dwóch różnych wartości x . Następnie należy zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty o współrzędnych ( x ; f ( x ) ) i połączyć je prostą. Jeżeli współczynniki a , b we wzorze funkcji są liczbami całkowitymi, to wystarczy znaleźć wartość naszej funkcji dla dwóch dowolnych całkowitych x (najprościej przyjąć x = 0 , a następnie x = 1 ).

Przykład. Narysujemy wykres funkcji danej wzorem: f ( x ) = 2 x + 1 . W tym celu najpierw znajdziemy wartości funkcji dla x = 0 oraz dla x = 1 . Następnie zaznaczymy otrzymane pary współrzędnych ( x , f ( x ) ) w układzie współrzędnych i połączymy je prostą.

Dla x = 0 mamy f ( x ) = 1 . Wobec tego jednym z punktów wykresu jest ( 0 ; 1 ) .

Z kolei dla x = 1 mamy f ( x ) = 1 . Wobec tego drugim punktem wykresu jest ( 1 ; 1 ) .

Zaznaczając te punkty w układzie współrzędnych i łącząc je prostą otrzymamy wykres naszej funkcji, jak na rysunku niżej.


fx1through001-1.gif

Przycisk niżej uruchamia zestaw ćwiczeń podobnych do powyższego przykładu.

Uruchom zadanie

Przykład. Narysujemy wykres funkcji danej wzorem: f ( x ) = 7 4 x 1 2

Zauważmy, że w tym przypadku współczynniki a i b we wzorze funkcji nie są liczbami całkowitymi. Aby znaleźć dwa punkty wykresu o współrzędnych całkowitych, musimy odgadnąć takie dwie wartości całkowite x , dla których f ( x ) też jest liczbą całkowitą.

Na przykład dla x = 2 mamy f ( x ) = f ( 2 ) = 7 4 2 1 2 = 3 . Otrzymujemy w ten sposób punkt ( 2 ; 3 ) leżący na wykresie.

Podobnie, dla x = 2 mamy f ( x ) = 7 4 ( 2 ) 1 2 = 4 . Otrzymaliśmy drugi punkt leżący na wykresie, mianowicie ( 2 ; 4 ) .

Zaznaczając oba punkty w układzie współrzędnych i łącząc je prostą otrzymujemy wykres naszej funkcji jak na rysunku niżej.


fx1through-2-423.gif

Przycisk niżej uruchamia podobne ćwiczenia.

Uruchom zadanie

Współczynnik kierunkowy i współczynnik przesunięcia

Stałe a i b występujące we wzorze funkcji liniowej: f ( x ) = a x + b

mają bardzo naturalną interpretację geometryczną. Na podstawie ich znajomości można sporo powiedzieć o położeniu wykresu funkcji w układzie współrzędnych.

Definicja. Współczynnik a we wzorze funkcji liniowej f ( x ) = a x + b nosi nazwę współczynnika kierunkowego. Wyraz wolny b nazywa się współczynnikiem przesunięcia.

Współczynnik kierunkowy

W poprzedniej części, gdy omawialiśmy funkcję f ( x ) = a x (bez wyrazu wolnego b ), stwierdziliśmy, że nachylenie wykresu (a więc jego "kierunek" na płaszczyźnie) zależy od współczynnika kierunkowego. Taką samą rolę pełni współczynnik kierunkowy w przypadku ogólnym.

Dla a > 0 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem ostrym.

Dla a < 0 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem rozwartym.

Dla a = 0 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem zerowym (jest prostą poziomą).

Ponadto wartość współczynnika kierunkowego wpływa na wielkość kąta nachylenia wykresu do dodatniej półosi O X :

Dla a > 1 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem ostrym większym od 45 ° .

Dla a = 1 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem 45 ° .

Dla 0 < a < 1 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem ostrym mniejszym od 45 ° .

Dla 1 < a < 0 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem rozwartym większym od 135 ° .

Dla a = 1 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem 135 ° .

Dla a < 1 wykres funkcji f ( x ) = a x + b jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem rozwartym większym od 90 ° i mniejszym od 135 ° .

Rysunki niżej ilustrują zależności podane w powyższych tabelach (przypadek a = 0 , w którym wykres jest prostą poziomą, został pominięty).


aplusaminusb=2.gif

Współczynnik przesunięcia

Wyraz wolny b we wzorze funkcji liniowej nazywa się współczynnikiem przesunięcia. Nazwa ta wiąże się z faktem, że wykres funkcji f ( x ) = a x + b powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji y = a x pionowo o b jednostek w górę (dla b > 0 ) lub w dół (dla b < 0 ). Ilustruje to rysunek poniżej:


kilkab.gif

Podstawiając we wzorze funkcji liniowej x = 0 otrzymujemy f ( 0 ) = a 0 + b = b . Wynika stąd, że współczynnik przesunięcia jest równy rzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią O Y .

Wykres funkcji liniowej f ( x ) = a x + b przecina oś O Y w punkcie ( 0 , b ) .

Przycisk niżej uruchamia symulator graficzny pozwalający na eksperymenty ze współczynnikiem kierunkowym i współczynnikiem przesunięcia.

Uruchom zadanie

Tabela poniżej podsumowuje zależności między współczynnikami a , b we wzorze funkcji liniowej a położeniem jej wykresu w układzie współrzędnych.

f ( x ) = a x + b
Znaki a i b kąt nachylenia do O X wykres przecina oś O Y w punkcie wykres przechodzi przez ćwiartki Przykładowy wykres
a > 0 b > 0 ostry położonym nad osią O X I, II, III fx1a+b+.gif
a > 0 b < 0 ostry położonym pod osią O X I, III, IV fx1a+b-.gif
a < 0 b > 0 rozwarty położonym nad osią O X I, II, IV fx1a-b+.gif
a < 0 b < 0 rozwarty położonym pod osią O X II, III, IV fx1a-b-.gif
a = 0 b > 0 zerowy położonym nad osią O X I, II fx1a0b+.gif
a = 0 b < 0 zerowy położonym pod osią O X III, IV fx1a0b-.gif
a > 0 b = 0 ostry ( 0 ; 0 ) I, III fx1a+b0.gif
a < 0 b = 0 rozwarty ( 0 ; 0 ) II, IV fx1a-b0.gif
a = 0 b = 0 zerowy wykres pokrywa się z osią O X fx1a0b0.gif

W tabeli powyżej widzimy, że wykres funkcji liniowej przechodzi przez dwie (a nie trzy) ćwiartki wówczas, gdy albo przechodzi przez początek układu współrzędnych, albo jest prostą równoległą do osi O X (niepokrywającą się z tą osią).

Przykład. Znajdziemy wzór przykładowej funkcji liniowej, której wykresem jest prosta przechodząca przez ćwiartki I, II, IV oraz która leży nad punktem P = ( 9 ; 25 ) .

Wzór naszej funkcji ma postać f ( x ) = a x + b . Musimy podać przykład takich a i b , aby wzór funkcji był zgodny z warunkami zadania. Ponieważ wykres przechodzi przez I, II i IV ćwiartkę, więc jest nachylony do osi O X pod kątem rozwartym (patrz tabela powyżej). Wobec tego musi być spełniony warunek a < 0 .

Z tego samego założenia o ćwiartkach wynika, że wykres przecina oś O Y w punkcie o współrzędnej dodatniej. Zatem wyraz wolny b musi spełniać warunek b > 0 .

Wrescie informacja, że wykres leży nad punktem P ( 9 ; 4 ) , oznacza, że f ( 9 ) > 25 . Otrzymujemy stąd nierówność 9 a + b > 25 .

Za wspólczynniki a i b możemy teraz przyjąć dowolne liczby, które spełniają jednocześnie trzy warunki:

a < 0

b > 0

9 a + b > 25

Przykładami takich liczb są a = 3 i b = 4 . Wzór naszej funkcji ma wtedy postać: f ( x ) = 3 x + 4

Przycisk poniżej uruchamia podobne ćwiczenia.

Uruchom zadanie

Ćwiczenie. Znajdź wzór przykładowej funkcji liniowej, której wykresem jest prosta przechodząca przez ćwiartki II, III, IV oraz która przechodzi przez punkt P = ( 7 ; 45 ) .

Wzór naszej funkcji ma postać f ( x ) = a x + b . Musimy podać przykład takich a i b , aby wzór funkcji był zgodny z warunkami zadania. Ponieważ wykres przechodzi przez II, III i IV ćwiartkę, więc jest nachylony do osi O X pod kątem rozwartym. Wobec tego musi być spełniony warunek a < 0 .

Z informacji o ćwiartkach wynika też, że wykres przecina oś O Y w punkcie o współrzędnej ujemnej. Zatem wyraz wolny b musi spełniać warunek b < 0 .

Wreszcie informacja, że wykres przechodzi przez punkt P ( 7 ; 45 ) , oznacza, że f ( 7 ) = 45 . Otrzymujemy stąd równość 7 a + b = 45 .

Za wspólczynniki a i b możemy teraz przyjąć dowolne liczby, które spełniają jednocześnie trzy warunki:

a < 0

b < 0

7 a + b = 45

Przykładowo, można przyjąć a = 6 i b = 3 . Wzór naszej funkcji ma wtedy postać: f ( x ) = 6 x 3

Przycisk poniżej uruchamia zestaw podobnych ćwiczeń.

Uruchom zadanie

Przykład. Znajdziemy wzór przykładowej funkcji liniowej, której wykresem jest prosta przechodząca przez III i IV ćwiartkę oraz która leży nad punktem P = ( 4 ; 8 ) .

Wzoru naszej funkcji szukamy w postaci f ( x ) = a x + b . Musimy podać przykład takich a i b , aby wzór funkcji był zgodny z warunkami zadania.

Ponieważ wykres przechodzi przez III i IV ćwiartkę, więc jest prostą równoległą do osi O X , leżącą pod tą osią. Zatem mamy a = 0 . Wzór funkcji ma postać f ( x ) = b - jest to funkcja stała.

Z faktu, że wykres leży pod osią O X wynika dodatkowo, że b < 0 .

Wreszcie informacja, że punkt P ( 4 ; 8 ) leży pod wykresem funkcji pociaga za sobą, że oznacza, że f ( 4 ) > 8 . Otrzymujemy stąd b > 8 . Przyjmując przykładowo b = 6 otrzymujemy: f ( x ) = 6

Przycisk poniżej uruchamia podobne ćwiczenia.

Uruchom zadanie

Ćwiczenie. Rozwiąż zadanie z ostatniego przykładu, zakładając jednak, że tym razem prosta będąca wykresem funkcji przechodzi przez punkt P = ( 4 ; 8 ) (a nie leży nad nim).

Wzoru naszej funkcji szukamy w postaci f ( x ) = a x + b .

Powtarzając część rozumowania z ostatniego przykładu stwierdzamy, że wykres przechodzi przez III i IV ćwiartkę, więc jest prostą równoległą do osi O X , leżącą pod tą osią. Zatem mamy a = 0 . Wzór funkcji ma postać f ( x ) = b . Z informacji o ćwiartkach wynika, że wykres leży pod osią O X , więc b < 0 .

Natomiast informacja, że punkt P ( 4 ; 8 ) leży na wykresie funkcji (a nie pod nim) tym razem oznacza, że f ( 4 ) = 8 . Otrzymujemy stąd warunek b = 8 . Tak więc istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca warunki zadania: f ( x ) = 8

Przyciski poniżej uruchamiają podobne ćwiczenia.

Uruchom zadanie Uruchom zadanie

Punkty przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami układu

Podstawiając we wzorze funkcji liniowej x = 0 otrzymujemy f ( 0 ) = a 0 + b = b . Wynika stąd, że współczynnik przesunięcia jest równy rzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji liniowej z osią O Y .

Wykres funkcji liniowej f ( x ) = a x + b przecina oś O Y w punkcie ( 0 , b ) .

Punkt przecięcia wykresu funkcji liniowej f ( x ) = a x + b z osią O X znajdujemy podstawiając f ( x ) = 0 we wzorze funkcji. Otrzymujemy wówczas równanie: a x + b = 0

Jeżeli a 0 , to rozwiązaniem tego równania jest: x = b a

Punktem przecięcia wykresu z osią O X jest więc ( b a ; 0 ) .

Jeżeli a = 0 , wówczas wzór funkcji przyjmuje postać f ( x ) = b . Po podstawieniu f ( x ) = 0 otrzymamy równanie b = 0 . Dla b 0 równanie to nie ma rozwiązań (w tym przypadku wykres funkcji jest prostą równoległą do osi O X ). Dla b = 0 równanie przyjmuje postać tożsamości 0 = 0 , więc każda liczba rzeczywista jest jego rozwiązaniem (w tym przypadku wykres funkcji pokrywa się z osią O X ).

W konsekwencji otrzymujemy następujący fakt.

Niech f będzie funkcją liniową daną wzorem f ( x ) = a x + b .

Jeżeli a 0 , wówczas wykres funkcji f przecina oś O X w punkcie: ( b a ; 0 )

Jeżeli a = 0 , wówczas:

– dla b 0 wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z osią O X (jest prostą równoległą do osi O X );

– dla b = 0 wykres funkcji f pokrywa się z osią O X .

Ćwiczenie. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji f ( x ) = 3 2 x 2 z osiami układu współrzędnych.

Dla znalezienia punktu przecięcia wykresu z osią O Y wystarczy obliczyć wartość funkcji f dla x = 0 . Mamy w naszym przypadku f ( 0 ) = 2 . (Przypomnijmy, że jest to jednocześnie wartość współczynnika przesunięcia we wzorze funkcji liniowej, tak więc można ją po prostu odczytać ze wzoru funkcji). Wykres przecina więc oś O Y w punkcie ( 0 ; 2 ) .

Aby znaleźć punkt przecięcia wykresu z osią O X , musimy rozwiązać równanie f ( x ) = 0 , czyli 3 2 x 2 = 0

Rozwiązaniem tego równania jest x = 4 3 . Wykres przecina więc oś O X w punkcie ( 4 3 ; 0 ) . Rysunek niżej ilustruje rozwiązanie.


miejscazerowefx1_y-2.gif

Przycisk niżej uruchamia zestaw podobnych ćwiczeń.

Uruchom zadanie

Znajdowanie wzoru funkcji liniowej na podstawie jej wartości lub jej wykresu

Aby znaleźć wzór funkcji liniowej, wystarczy znać jej wartości w dwóch punktach.

Przykład. Znajdziemy wzór funkcji liniowej, która dla x = 4 przyjmuje wartość 24 oraz dla x = 9 przyjmuje wartość 41 .

Wzór szukanej funkcji ma postać f ( x ) = a x + b . Musimy znaleźć współczynniki a i b .

Dla x = 4 mamy f ( x ) = 24 . Po podstawieniu tych wartości do wzoru funkcji otrzymujemy a ( 4 ) + b = 24 lub równoważnie: 4 a + b = 24

Podobnie, dla x = 9 mamy f ( x ) = 41 . Oznacza to, że a 9 + b = 41 lub równoważnie: 9 a + b = 41

Otrzymaliśmy dwa równania z niewiadomymi a i b . Jeżeli odejmiemy stronami pierwsze równanie od drugiego, to otrzymamy:

9 a + b ( 4 a + b ) = 41 24

13 a = 65

a = 65 13 = 5

W ten sposób obliczyliśmy współczynnik a .

Aby znaleźć współczynnik b , podstawiamy znalezioną wartość a = 5 na przykład do pierwszego równania i otrzymujemy: ( 4 ) ( 5 ) + b = 24 20 + b = 24

skąd otrzymujemy b = 4 .

Ostatecznie wzór szukanej funkcji ma postać: f ( x ) = 5 x + 4

Przykład. Znajdziemy wzór funkcji liniowej, takiej że f ( 1 ) = 1 2 oraz f ( 5 ) = 1 2 .

Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru funkcji, jak w poprzednim przykładzie, otrzymujemy równania:

a + b = 1 2 5 a + b = 1 2

Odejmując, jak poprzednio, pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy:

6 a = 0

Stąd a = 0 . Z pierwszego równania otrzymujemy teraz b = 1 2 . Ostatecznie wzór funkcji ma postać:

f ( x ) = 1 2

Szukana funkcja jest więc funkcją stałą. Zauważmy, że mogliśmy ten wynik otrzymać bez rozwiązywania układu równań powyżej. Wystarczyło zauważyć, że nasza funkcja przyjmuje w dwóch punktach identyczne wartości, a więc jest stała. Wobec tego a = 0 , a wzór naszej funkcji ma postać f ( x ) = b . Z ostatniego wzoru widać, że wartość współczynnika przesunięcia b     jest równa przyjmowanej przez funkcję stałej wartości, a więc 1 2 .

Dwa przyciski niżej otwierają zestawy ćwiczeń podobnych do ostatnich przykładów.

Uruchom zadanie Uruchom zadanie

Znajdowanie wzoru funkcji na podstawie wykresu

Podane wyżej przykłady pokazują, jak znaleźć wzór funkcji liniowej na podstawie znajomości jej wartości w dwóch różnych punktach. Wartości takie możemy w szczególności odczytać z podanego wykresu funkcji.

Ćwiczenie. Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres podany jest na rysunku poniżej. W tym celu odczytaj z wykresu dwie pary ( x , f ( x ) ) i zastosuj metodę poznaną w przykładach powyżej.


napfx131-6-4.gif

Wzór szukanej funkcji ma postać f ( x ) = a x + b . Musimy znaleźć wartości a i b . W tym celu – podobnie jak w przykładach powyżej – wystarczy, że ustalimy wartości funkcji w dwóch różnych punktach, a następnie rozwiążemy odpowiedni układ równań.

Zauważmy, że podany wykres przechodzi przez punkt ( 3 ; 1 ) . Oznacza to, że f ( 3 ) = 1 . Podstawiając te wartości do wzoru funkcji otrzymujemy równanie:

3 a + b = 1

Podobnie, zauważmy, że wykres przechodzi przez punkt ( 6 ; 4 ) . Oznacza to, że f ( 6 ) = 4 . Ponownie podstawiamy te wartości do wzoru funkcji otrzymując drugie równanie:

6 a + b = 4

Odejmujemy drugie równanie od pierwszego i otrzymujemy

9 a = 5 a = 5 9

Podstawiamy tak wyliczoną wartość a do pierwszego równania i wyliczamy z niego b :

3 5 9 + b = 1 5 3 + b = 1 b = 1 5 3 = 2 3

Ostatecznie wzór naszej funkcji ma postać

f ( x ) = 5 9 x 2 3

Przycisk niżej otwiera zestaw podobnych ćwiczeń.

Uruchom zadanie